APLIKASI INTEGRAL TAK TENTU DALAM BIDANG EKONOMI
Pengertian
Integral Tak Tentu
Mengintegralkan suatu fungsi turunan
f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah:
∫ f(x) dx = F(x) + k
dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan
diatas, tanda ∫ adalah tanda integral; f(x) dx adalah diferensial dari F(x);
f(x) adalah integral partikular; k adalah konstanta pengintegralan; dan F(x) +
k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses pengintegralan disebut juga
integrasi.
Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika misalnya suatu fungsi asal
dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunan dilambangkan dengan f(x), maka
Untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5
Fungsi turunannya : f(x) = d F(x) = 2x
dx
Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka
∫ f(x)dx = F(x) + k = x2 + k
karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam mengintegralkan
setiap fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k. artinya nilai konstanta
tersebut tidak dengan sendirinya bisa diisi dengan bilangan tertentu (misalnya
5, dalam contoh tadi), kecuali jika didalam soal memang sudah ditentukan nilai
konstantanya. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral
yang merupakan kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.
Dalam dunia ekonomi, integral tak tentu ini sering digunakan dalam
menyelesaikan masalah fungsi biaya, fungsi penerimaan, fungsi utilitas, fungsi
produksi serta fungsi konsumsi dan tabungan. Pendekatan integral tak tentu juga
dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel
ekonomi apabila fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada
dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya,
yakni integrasi, dapatlah dicari fungsi asal dari fungsi tersebut atau fungsi
totalnya.
1.fungsi biaya
Contoh kasus:
Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q + 4. Carilah
persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya.
Jwb:
Biaya
total C = f(Q)
Biaya marjinal : MC = C1 = dC/dQ = f1 (Q)
Biaya total tak lain adalah integrasi dari biaya marginal
C = ∫ MC dQ = ∫ f1 (Q) dQ
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Biya total : C = ∫ MCdQ
= ∫ (3Q2 - 6Q + 4.) dQ
= Q3 - 3Q2 + 4Q + k
Biaya rata-rata : C/Q = Q3 - 3Q2 + 4Q + k/Q
Konstanta k tak lain adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap tersebut
adalah 4, maka:
C = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4
AC = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4/Q
2.fungsi penerimaan
Contoh kasus:
Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu
perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4Q.
Jwb:
Penerimaan
total : R = f(Q)
Penerimaan marjinal : MR = R1 = dR/dQ = f1 (Q)
Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marjinal
R = ∫ MR dQ = ∫ f1 (Q) Dq
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Penerimaan total : R = ∫ MR dQ
= ∫ (16 – 4Q) dQ
= 16Q – 2Q2
Penerimaan rata-rata : AR = R/Q = 16 – 2Q
Dalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak akan
ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.
3.fungsi utilitas
Contoh kasus:
Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas
marjinalnya MU = 90 – 10Q
Jwb:
Utilitas
total : U = f(Q)
Utilitas marjinal : MU = U1 = dU/dQ = f1 (Q)
Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal
U = ∫ MU dQ = f1 (Q) dQ
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Utilitas total: U = ∫ MU dQ
= ∫ (90 – 10Q) dQ
= 90Q – 5Q2
Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disinipun konstanta k = 0,
sebab tak ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tak ada
barang yang dikonsumsi.
4.fungsi produksi
Contoh kasus:
Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 18x – 3x2 . carilah
persamaa produk total dan produk rata-ratanya.
Jwb:
Produsi
total :P = f(x) dimana.
P = keluaran; x = masukan
Produk marjinal : MP = P1 = dP/dX = f1 (x)
Produk total tak lain adalah integral dari produk marjinal
P = ∫ MPdX = ∫ f1 (x) dX
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Produk total : P = ∫ MPdX
= ∫ (18x – 3x2 ) dX
= 9x2 – x3
Produk rata-rata : AP = p/x = 9x – x2
5.fungsi konsumsi dan tabungan
Contoh kasus:
carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah negara jika
diketahui outonomous consumption-nya sebesar 30 milyar dan MPC = 0,8.
Jwb:
Dalam
ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyataka fungsional terhadap
pendapatan nasional (Y).
C = f(Y) = a + By
MPC = C 1 = dC/dY = f 1 (Y) = b
Karena Y = C + S, maka
S = g(y) = -a + (1 – b) Y
MPS = S1 = dS/dY = g 1 (Y) = (1 – b)
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi da tabungan masing-masing adalah
integral dari marginal propensity to consume dan marginal propensity to save.
C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k ≡ a
S = ∫ MPS dY = G(Y) + k k ≡ -a
Konstanta k pada fungsi produksi ada fungsi tabungan masing-masing adalah
outonomous consumption dan outonomous saving.
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
C = ∫ MPC dY = ∫ 0,8 Y + 30 milyar.
S = ∫ MPS dY = ∫ 0,2 Y – 30 milyar.
Atau S = Y – C = Y – (0,8 Y – 30 milyar) = 0,2Y – 30 milyar.
